Энергетический спектр случайного процесса

Мы научились представлять на спектральной оси:

  • периодические сигналы;
  • непериодические, но ограниченные во времени.

Но не научились представлять:

  • непериодические, неограниченные во времени случайные сигналы.

К случайной функции непосредственно применить преобразование Фурье нельзя, поскольку она не определени точно. http://peredacha-informacii.ru/ Однако для любой из реализаций ƒν(t) конечной длительности T можно найти преобразование Фурье Fν(jω), то есть

Энергетический спектр случайного процесса,

где – общая энергия ν-той реализации случайной функции ƒ(t);

|Fν(jω)| – модуль спектральной функции ƒ(t) для ν-той реализации.

Средняя мощность ν-той реализации может быть подсчитана по формуле:

,

где – спектральная плотность ν-той реализации случайной функции ƒ(t).

Если T ® , то

Энергетический спектр случайного процесса .
Энергетический спектр случайного процесса

Восстановить реализации процесса как функции времени по энергетическому спектру в принципе нельзя.

Получить N(ω) практически сложно, так как требуется усреднить много реализаций случайной функции ƒν(t).

Для эргодических процессов достаточной является одна достаточно длинная реализация, так как для них среднее по множеству можно заменить средним по времени, то есть:

Энергетический спектр случайного процесса.

Найдем иную запись для энергетического спектра случайного прочесса

Энергетический спектр случайного процесса.

Учитывая это, можно записать

Энергетический спектр случайного процесса.

Если θ и ν – находятся в следующем взаимоотношении: t = θ + τ; dt = , то

Энергетический спектр случайного процесса

где

Энергетический спектр случайного процесса

автокорреляционная функция случайного процесса ƒ(t).

По аналогии с преобразованием Фурье:

Энергетический спектр случайного процесса .

Спектр случайного процесса может быть задан только энергетически:

Энергетический спектр случайного процесса
Энергетический спектр случайного процесса
Энергетический спектр случайного процесса
Рис. 10.20

Для белого шума τ0 – время корреляции стремится к нулю и корреляционная функция стремится к δ-функции.

Энергетический спектр случайного процесса .
Энергетический спектр случайного процесса
Рис. 10.21

Таблица 10.1

Вид сигнала Его спектр – спектр амплитуд Энергетический спектр – энергия

1. Периодический, бесконечный во времени

Энергетический спектр случайного процесса Энергетический спектр случайного процесса

где An – амплитуда гармоник

Энергетический спектр случайного процесса

2. Спектр сигнала непериодического ограниченного во времени

Энергетический спектр случайного процесса Энергетический спектр случайного процесса Энергетический спектр случайного процесса

3. Спектр случайного процесса – энергетический

Энергетический спектр случайного процесса Энергетический спектр случайного процесса Энергетический спектр случайного процесса