Энергетический спектр случайного процесса
Мы научились представлять на спектральной оси:
- периодические сигналы;
- непериодические, но ограниченные во времени.
Но не научились представлять:
- непериодические, неограниченные во времени случайные сигналы.
К случайной функции непосредственно применить преобразование Фурье нельзя, поскольку она не определени точно. http://peredacha-informacii.ru/ Однако для любой из реализаций ƒν(t) конечной длительности T можно найти преобразование Фурье Fν(jω), то есть
,
где – общая энергия ν-той реализации случайной функции ƒ(t);
|Fν(jω)| – модуль спектральной функции ƒ(t) для ν-той реализации.
Средняя мощность ν-той реализации может быть подсчитана по формуле:
,
где – спектральная плотность ν-той реализации случайной функции ƒ(t).
Если T ® , то
.
Восстановить реализации процесса как функции времени по энергетическому спектру в принципе нельзя.
Получить N(ω) практически сложно, так как требуется усреднить много реализаций случайной функции ƒν(t).
Для эргодических процессов достаточной является одна достаточно длинная реализация, так как для них среднее по множеству можно заменить средним по времени, то есть:
.
Найдем иную запись для энергетического спектра случайного прочесса
.
Учитывая это, можно записать
.
Если θ и ν – находятся в следующем взаимоотношении: t = θ + τ; dt = dτ, то
где
–
автокорреляционная функция случайного процесса ƒ(t).
По аналогии с преобразованием Фурье:
.
Спектр случайного процесса может быть задан только энергетически:
Для белого шума τ0 – время корреляции стремится к нулю и корреляционная функция стремится к δ-функции.
.
Рис. 10.21
Таблица 10.1
|