Квантование по уровню

В предыдущих параграфах была показана возможность представления каждой реализации случайного процесса, использованного в качестве модели сигнала, в таком виде, чтобы он в любой конечный отрезок времени имел конечное число независимых друг от друга отсчетов (как говорят иначе – конечное число степеней свободы). В противном случае – за конечный промежуток времени создавалось бы бесконечное число новых сообщений и связь была бы возможна только при помощи аналоговой техники, что не всегда удобно.

Однако, переход на конечное число отсчетов по оси времени не полностью решает задачу перехода к конечному числу данных на ограниченном временном интервале сигнала.

В общем случае точное задание значения функции в некоторый момент времени t может быть осуществлено с помощью бесконечного ряда цифр. Видимо, это не только не удобно, но и не нужно. Возникает вопрос: каково значение максимально возможной единицы младшего разряда и почему более точное измерение амплитуды сигнала не целесообразно?

Если мы ответим на этот вопрос, то мы сможем перейти к чисто дискретному представлению сигнала.

Принцип квантования по амплитуде заключается в том, что вводятся фиксированные уровни сигнала и все значения функции ƒ(t), находящейся между введенными фиксированными уровнями, относятся к одному из них.

Весь вопрос заключается в выборе величины одного кванта сигнала.

Величина кванта выбирается из практических соображений. Практически мы никогда не можем измерить точно значение функции в какой-нибудь момент времени из-за наличия неизбежных помех и искажений.

Рассмотрим некоторые виды искажений.

Квантование по уровню
Рис. 9.8

1. Дрейф нуля во времени.

Квантование по уровню
Рис. 9.9

Смещение функции Xвых = Y(Xвх).

2. Изменение Кус со временем.

Квантование по уровню
Рис. 9.10

3. Нелинейность преобразования.

Квантование по уровню
Рис. 9.11

Если эти искажения могут быть каким-либо образом предсказаны и следовательно тем или иным способом скомпенсированы, то влияние случайной помехи предсказать нельзя.

Естественно нет смысла передавать точно измеренное значение, если не известно, что измерено: сама передаваемая величина или она не изменилась, а на нее наложилась помеха.

Квантование по уровню
Рис. 9.12

Yвых = Y(Xвх) + ξ – аддитивная помеха;

Yвых = Y(Xвх) · ξ – мультипликативная помеха.

Если мы хотим быть уверены в том, что передается новое значение, т.е. величина x(t) действительно изменилась, то мы должны выбирать дискретную шкалу так, чтобы помеха не превосходила половины интервала между соседними уровнями.

При этом, приняв сигнал некоторой величины мы относим его к ближайшему дискретному значению.

Механизм квантования на передающем конце сводится к тому, что вместо данного мгновенного значения передаваемой величины (при непрерывном сообщении) передается ближайшее дискретное значение. Ближайшие сообщения отличаются на величину Δx, которую называют шагом квантования.

Таблица 9.1

n · Δt 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n · Δx 1 2 3 3 3 3 3 4 6
Квантование по уровню
Рис. 9.13

Ясно, что квантование сопровождается искажением, т.к. полученные импульсы воспроизводят сигнал не точно.

Разность между квантованными импульсами и импульсами функции ƒ(k · Δt) высотой в n(k · Δt) · Δy образует последовательность импульсов

ξ(k · Δt) = ƒ(k · Δt) – n(k · Δt) · Δy,

которая называется шумом квантования.

Квантование по уровню
Рис. 9.14

Чтобы помеха не сказывалась на измеряемой величине, шаг квантования выбирают таким, чтобы

Δy ≥ 2max|ξn|.

Если принять Δy < 2max|ξn|, то может быть передано сообщение, отличающееся от действительного.

Если же принять Δy ≥ 2max|ξn|, то каждое сообщение несёт новую информацию о y = kXвх.

В тоже время maxξn особенно у случайной помехи может быть как угодно большой (теоретически).

Например, у белого шума функция плотности распределения амплитуд имеет нормальный закон распределения, т.е. вероятность появления пиковых амплитуд отлична от нуля.

В этом случае следует выбрать шаг квантования так, чтобы вероятность больших пиковых помех была мала, т.е. чтобы число ошибочных отсчетов было мало.

По существу это требование к надежности каждого отсчета, степени доверия к нему.

Для нормального закона распределения амплитуды помехи для каждого из отсчетов можно определить вероятностью превышения помехой величины .

Квантование по уровню .

Для определенности примем.

По таблицам находим вероятность этого события.

Таблица 9.2

2 4 6 8 10 12
0.32 4.6 · 10–2 3 · 10–3 6.6 · 10–5 6 · 10–7 2 · 10–9

Тогда, можно подсчитать средний интервал времени, в течение которого появится ошибочный отсчет (Tош):

P · n(Tош) = 1;

Квантование по уровню ;
Квантование по уровню .

Как видно из таблицы 9.2. вероятность ошибок с ростом убывает.

В то же время при порядка 1÷2 связь практически невозможна, либо необходимо принимать специальные меры по восстановлению сигнала. http://peredacha-informacii.ru/ Вероятность передачи ошибочного сигнала остается существенной для практики при порядка 8÷10.

В этом случае, чтобы выдержать соотношение

Δy > 2ξn

следует выбирать Δy из соотношения

Δy > 10σξ.

Эти величины квантования из данных рекомендаций могут получаться достаточно большими. Если их принять, то пропадет сам сигнал. В этом случае задачу борьбы с помехами возлагают на получателя информации, а шаг квантования принимают исходя из практических соображений: дискретность по оси значений не должна мешать восприятию или какому-либо другому использованию сигнала при его восстановлении.