Непрерывный канал с помехами

Большой интерес представляет случай, когда канал используется для передачи непрерывных сообщений. Непрерывный сигнал удобно рассматривать как предел дискретного при уменьшении величины кванта параметра Δx и интервала дискретизации времени Δт. Уменьшение Δx равносильно переходу к передаче кодовых сигналов с бóльшим основанием, а уменьшение Δт – увеличению скорости Vx передачи сигналов.

Следовательно, непрерывный канал позволяет в принципе передавать бóльшее количество информации. Случай непрерывного канала является весьма важным для:

  • передачи непрерывных – аналоговых сигналов;
  • это предельный случай и потому может использоваться для различных оценок.

Ширина спектра помехи и полезного сигнала ограничена полосой пропускания.

непрерывный канал с помехами
Рис. 11.1

Наиболее просто описывается помеха типа "белого шума", имеющая равномерный спектр в пределах полосы пропускания 0 ≤ FFmax. Пусть в линии действует помеха данного типа, имеющая мощность Pξ и

непрерывный канал с помехами

то есть

непрерывный канал с помехами
Рис. 11.2

Ограничение спектров сигнала и помехи позволяет при определении количества информации вместо непрерывной функции ƒ(t) рассматривать дискретную ƒ(tk), где

tk = k · Δt,

где

непрерывный канал с помехами (по Котельникову).

Δt – определение необходимую скорость передачи

непрерывный канал с помехами .

Теперь рассмотрим вопрос о max количестве информации, содержавшемся в одном импульсе ƒ(tk).

В случае дискретного канала имеем

I(Y; Z) = H(Z) – H(Z/Y) = H(Z) – H(Z/X).

При отсутствии помех

I(X; Z) = H(Z) = H(X) – для непрерывного сигнала.

Максимальное количество информации равно при этом максимальной энтропии

непрерывный канал с помехами ,

где m – число уровней квантования, содержащихся в интервале возможного изменения функции 0 ≤ ƒ*(tk) ≤ ƒmax. Для непрерывной величины Δƒ ® 0; Hm(X) ® .

Таким образом при отсутствии помех количество информации на один импульс оказывается бесконечно большим. Иначе обстоит дело в случае наличия помех. http://peredacha-informacii.ru/ При уменьшении Δƒ увеличивается H(X), но одновременно увеличивается вероятность ошибочного решения и, следовательно, растет H(Z/Y).

В результате стремления Δƒ ® 0 I(Z/Y) стремится к определенному конечному пределу.

I(Z; Y) = H(Z) – H(Z/Y) = H(Z) – H(Z/X).

Пусть помеха аддитивна z = y + ξ.

Этот класс помех имеет наибольшее распространение и наиболее хорошо изучен.

Так как элемент случайности вносит только помеха, то при любом фиксированном значении y случайная величина z, равная ( y + ξ), будет распределена в соответствии с распределением помехи ξ.

непрерывный канал с помехами
Рис. 11.3

Учитывая это, можно записать:

непрерывный канал с помехами

Так как ξ не зависит от x, то

непрерывный канал с помехами ,

где – энергия источника помех, т.е.

непрерывный канал с помехами .

Для гауссовской помехи типа "белого шума"

непрерывный канал с помехами ;
непрерывный канал с помехами ,

тогда

непрерывный канал с помехами

где – средняя мощность шума

непрерывный канал с помехами .

Максимальное количество информации, которое может содержаться в одном отсчёте

непрерывный канал с помехами

будет иметь место при таком W(z), при котором Hотн(Z) достигает max.

Если задана средняя мощность сигнала – Pz, то задача сводится к отысканию условного максимума выражения:

непрерывный канал с помехами

при ограничениях

непрерывный канал с помехами

Это – задача вариационного счисления. Max функционала H(Z) будет при условии, если

непрерывный канал с помехами ,

т.е. при гауссовской плотности распределения основного сигнала.

Этот результат показывает, что гауссовский процесс имеет max неопределенность при той же дисперсии, по сравнению с другими видами распределений.

Так как z = x + ξ, то σz2 = σx2 + σξ2 (закон сложения дисперсий). Max{I(Z; X)} будет при условии, если X – гауссовский сигнал.

В соответствии с ранее рассмотренным выражением можно записать:

непрерывный канал с помехами ,

тогда

непрерывный канал с помехами

Если спектр помехи и сигнала ограничен частотой Fmax, то частота отсчетов по Котельникову

непрерывный канал с помехами
или
непрерывный канал с помехами

и пропускная способность непрерывного канала с шумом

непрерывный канал с помехами

это теоретический предел скорости передачи информации по каналу связи при ограниченной средней мощности передаваемых сигналов и при наличии аддитивной помехи в виде белого шума с ограниченным спектром.

Так как энергетический спектр помехи типа "белого шума" равномерен в пределах 0 ÷ Fmax, мощность Pξ можно выразить через удельную мощность P0 на единицу частоты; тогда формула примет следующий вид:

непрерывный канал с помехами.

При Fmax ® Ckmax – растет до предела

непрерывный канал с помехами

Cпред – ограничение, вносимое помехой с уровнем мощности P0 на 1 герц частоты, которое не может быть превышено без увеличения мощности сигнала.

Если плотность распределения P(x) непрерывных сообщений, вырабатываемых источником, отличается от гауссовской, то Cпред будет меньше.

Пропускная способность канала, определяемая формулой

непрерывный канал с помехами ,

есть предельная скорость передачи информации по каналу со сколь угодно редкими ошибками. Достигается путем применения сложных методов преобразования и кодирования. Передаваемый сигнал должен быть – "белым шумом" – некоррелированный, т.е. имеющий равномерный энергетический спектр.

Если помеха имеет неравномерный энергетический спектр, то скорость передачи информации может быть увеличена путем перераспределения мощности сигнала с увеличением её на участках спектра, где мощность помехи меньше.

Канал с неравномерным спектром помехи имеет большую пропускную способность. Следовательно, помеха типа "белого шума" обладает наихудшей пропускной способностью и наихудшей спектральной характеристикой.

Шенноном получены так же оценки пропускной способности каналов при ограничении пиковой мощности сигнала, что всегда имеет место на практике, т.к. передатчик обладает конечной мощностью.

Верхняя граница определяется следующим соотношением для больших сигналов

непрерывный канал с помехами;
непрерывный канал с помехами;

для малых сигналов

; ,

где P'x – пиковая мощность сигнала.

Снизу пропускная способность ограничена неравенством

непрерывный канал с помехами .