Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Пусть непериодический сигнал описывается функцией ƒ(t). Тогда энергию, выделяемую сигналом на сопротивлении в 1 ом, можно записать:
.
Предположим, что ƒ(t) абсолютно интегрируема (интеграл сходится). Выразим энергию W через модуль спектральной характеристики F(ω).
Квадрат модуля спектра амплитуд можно представить в виде http://peredacha-informacii.ru/ :
,
где F(–jω) – комплексно-сопряженная функция от спектральной характеристики F(jω).
;
.
Согласно определению можно записать:
.
Рассмотрим выражение:
и поменяем очередность интегрирования
.
Однако в соответствии с обратным преобразованием Фурье:
.
Или окончательно:
.
Оказывается, что энергия при интегрировании квадрата временной функции во временном интервале равняется энергии при интегрировании квадрата модуля спектра амплитуд по всему интервалу частот (теорема Парсеваля).
|