Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Пусть непериодический сигнал описывается функцией ƒ(t). Тогда энергию, выделяемую сигналом на сопротивлении в 1 ом, можно записать:

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала .

Предположим, что ƒ(t) абсолютно интегрируема (интеграл сходится). Выразим энергию W через модуль спектральной характеристики F(ω).

Квадрат модуля спектра амплитуд можно представить в виде http://peredacha-informacii.ru/ :

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала ,

где F(–jω) – комплексно-сопряженная функция от спектральной характеристики F(jω).

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала ;
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Согласно определению можно записать:

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала .

Рассмотрим выражение:

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

и поменяем очередность интегрирования

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Однако в соответствии с обратным преобразованием Фурье:

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Или окончательно:

Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.

Оказывается, что энергия при интегрировании квадрата временной функции во временном интервале равняется энергии при интегрировании квадрата модуля спектра амплитуд по всему интервалу частот (теорема Парсеваля).