Спектры непериодических сигналов

Рассмотрим непериодические сигналы при следующих ограничениях:

1. Функция ƒ(t) имеет конечное число max.

2. – существует.

Пусть имеется следующая функция:


Спектры непериодических сигналов
Рис. 10.7

Функция ƒ(t) – имеет конечную продолжительность по времени.

Если повторить ƒ(t), получим периодическую функцию:

ƒ1(t) = ƒ(t + T), ƒ1(t) = ƒ(t) при t0tt0 + T.

Для ƒ1(t) можно дать спектральное описание:

Спектры непериодических сигналов

где

Спектры непериодических сигналов .

При T ® имеем:

Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ,

то есть

Спектры непериодических сигналов .

Обозначим

Спектры непериодических сигналов ,

при T ® имеем:

Спектры непериодических сигналов .

F(jω) – это прямое преобразование Фурье для ƒ(t).

Периодичность ƒ(t) уже не требуется.

Спектры непериодических сигналов

при T ® имеем:

Спектры непериодических сигналов ,

то есть для функции ограниченной длительности замена ±T/2 на ± не имеет значения, так как на всем остальном интервале ƒ(t) = 0.

Спектры непериодических сигналов ,

то есть для вычисления комплексной амплитуды любой гармоники периодической последовательности функций ƒ(t), т.е. ƒ1(t), достаточно вычислить F(jωn) непериодической функции, взять ее значение на частоте ωn = n · Ω и умножить на 2/T.

Подсчитаем теперь http://peredacha-informacii.ru/

Спектры непериодических сигналов

обратное преобразование Фурье для непериодической функции.

Спектры непериодических сигналов – модуль от преобразования Фурье назывется спектром.

F(jω) – комплексная величина, которую можно записать в виде:

Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ;
Спектры непериодических сигналов ,

а

Спектры непериодических сигналов ,

где F(ω) – спектр амплитуд;

φ(ω) – спектр фаз.

Обратное преобразование Фурье может быть записано:

Спектры непериодических сигналов

sin(ωt – φ) – нечетная функция ω;

cos(ωt – φ) – четная функция ω.

Спектры непериодических сигналов

другая запись преобразования Фурье.