Спектры непериодических сигналов

Рассмотрим непериодические сигналы при следующих ограничениях:

1. Функция ƒ(t) имеет конечное число max.

2. – существует.

Пусть имеется следующая функция:

Рис. 10.7

Функция ƒ(t) – имеет конечную продолжительность по времени.

Если повторить ƒ(t), получим периодическую функцию:

ƒ₁(t) = ƒ(t + T), ƒ₁(t) = ƒ(t) при t₀ ≤ t ≤ t₀ + T.

Для ƒ₁(t) можно дать спектральное описание:

где

.

При T ® имеем:

;
;
;
,

то есть

.

Обозначим

,

при T ® имеем:

.

F(jω) – это прямое преобразование Фурье для ƒ(t).

Периодичность ƒ(t) уже не требуется.

при T ® имеем:

,

то есть для функции ограниченной длительности замена ±T/2 на ± не имеет значения, так как на всем остальном интервале ƒ(t) = 0.

,

то есть для вычисления комплексной амплитуды любой гармоники периодической последовательности функций ƒ(t), т.е. ƒ₁(t), достаточно вычислить F(jω_n) непериодической функции, взять ее значение на частоте ω_n = n · Ω и умножить на 2/T.

Подсчитаем теперь http://peredacha-informacii.ru/

обратное преобразование Фурье для непериодической функции.

F(jω) – комплексная величина, которую можно записать в виде:

;
;
;
,

а

,

где F(ω) – спектр амплитуд;

φ(ω) – спектр фаз.

Обратное преобразование Фурье может быть записано:

sin(ωt – φ) – нечетная функция ω;

cos(ωt – φ) – четная функция ω.

–

другая запись преобразования Фурье.