Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

Спектр одиночного импульса имеет следующий вид:

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Рис. 10.16. Спектр одиночного импульса

Из спектра одиночного импульса ясно, что чем меньше , тем шире спектр. При ® 0 – спектр равномерный; а при = – имеем на спектре одну постоянную составляющую.

Эта связь вытекает непосредственно из общего свойства преобразования Фурье.

Пусть ƒ(t) соответствует спектр F(ω).

Изменим масштаб функции ƒ(t) по оси времени в a раз и рассмотрим спектр функции aƒ(at):

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра ,

заменим переменные at = z; adt = dz; t = z/a, то есть длительность функции ƒ(t) уменьшится в a раз, во столько же раз возрастет ширина ее спектра.

Вопрос о соотношении между длительностью импульса и шириной его спектра имеет громадное практическое значение. В вычислительной технике необходимы короткие и мощные импульсы и в тоже время требуется, чтобы спектр импульса был как можно уже, так как широкие спектры вызывают трудности при создании аппаратуры.

Эти требования противоречивы.

Возникает вопрос: нельзя ли найти такие сигналы, которые обладали бы ограниченным спектром и одновременно ограниченной длительностью? Формализм преобразования Фурье этого не позволяет, однако для реальных сигналов могут быть введены разумные ограничения, которые позволяют ограничить либо Δt, либо Δƒ, либо и то и другое.

Наиболее удобным в этом смысле, как мы уже говорили ранее, является энергетический критерий. При этом можно представить себе следующие модели сигналов:

1. Сигналы ограничены во времени. Спектр – неограничен теоретически; физически он всегда ограничен и учитывается только та часть спектра, где сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

2. Сигналы имеют ограниченный спектр, то есть математически это периодические, неограниченные во времени сигналы. Фактически, реальный процесс всегда ограничен во времени, поэтому учитывается только интервал времени, в котором сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала.

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

где t0 – часто задается естественно: для симметричного импульса t0 = 0; для одиночного так же t0 = 0 и формула имеет вид:

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра .

3. Сигналы, у которых и длительность (Δt) и ширина спектра (Δƒ) ограничены как интервалы, в которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Математический аппарат преобразования Фурье дает в этом случае приближенные разультаты.

При ограничениях по Δt и Δƒ можно поставить следующую задачу – отыскать такую форму сигнала, для которой произведение Δt · Δƒ достигает min.

Такому условию соответствует импульс, имеющий колоколообразную форму, которая описывается кривой Гаусса (кривой нормального распределения).

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Рис. 10.17. Кривая Гаусса

Произведение Δt · Δƒ может быть уменьшено только до определенного предела:

Δt · Δƒ ≈ const > 0,

где const зависит от выбора определения Δƒ и Δt.

Приведем значения Δt · Δƒ для различных видов сигналов в предположении, что

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра ,

где η = 0.9.

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

Δt · Δƒ – max для импульсов с разрывом (экспонента, прямоугольник); меньше для импульсов с разрывом в первой производной (треугольник и косинусоидальный) и наименьшее значение у колоколообразного импульса, у которого функция непрерывна со всеми своими производными. http://peredacha-informacii.ru/

Наиболее плодотворной и близкой к реальной действительности является модель с ограниченным спектром.

Этому способствует тот факт, что спектр мощности реального сигнала достаточно быстро спадает вне интервала частот, на который приходится основная часть мощности.

В инженерной практике принимают (в первом приближении независимо от формы сигнала):

Δt · Δƒ ≈ 1.

Практически, независимо от формы сигнала содержится > 90% энергии.

Примеры.

1. Если Tимп = 3млсек, то какая требуется полоса частот, чтобы пропустить основную долю энергии?

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра .

2. Какова длительность телевизионных импульсов, если FTVmax = 6мггц?

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра .

3. Какова min длительность импульсов, проходящих по телефонному каналу?

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

4. При передаче трансцоидального импульса происходит его искажение. Чаще всего это сглаживание (показано пунктиром). На рис. 10.18. показаны длительность импульса и длительности фронтов (переднего и заднего). Из приведенных соотношений видно, что для сохранения фронтов требуется значительно более широкий спектр, чем для передачи основной энергии импульса.

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Рис. 10.18
Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

Если сохранить фронт, то:

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

так как , то ΔFф >> ΔFимп.