Теорема Котельникова В. А.

В качестве достаточно универсальной модели сигнала принимается случайный процесс.

Пусть каждая из реализаций этого случайного процесса представляет функцию с ограниченным спектром ω ≤ ωmax = 2πƒmax.

В этом случае для преобразования непрерывного сигнала в дискретно-непрерывный можно использовать теорему Котельникова.

В 1933 году Котельникова В.А. доказал, что сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется дискретным рядом значений, отсчитанных через максимально допустимые интервалы времени

Теорема Котельникова В. А.,

где ƒmax – максимальная частота в спектре сигнала.

Следовательно, если требуется передать сигнал, описываемый дискретной функцией ƒ(t) с ограниченным спектром, то достаточно передавать отдельные мгновенные значения, отсчитанные через конечный промежуток времени . По этим значениям непрерывный сигнал может быть полностью восстановлен на выходе системы: .

Это положение объясняется тем, что отсутствие высших гармоник в составе ƒ(t) накладывает ограничения на способы, которыми могут быть соединены каждые две соседние точки.

Теорема Котельникова В. А.
Рис. 9.3

Доказательство состоит в разложении функции ƒ(t) в особого рода ряд.

В общем случае

Теорема Котельникова В. А. ,

где

Теорема Котельникова В. А. .

В данном, частном случае имеем

Теорема Котельникова В. А.

В момент времени

Теорема Котельникова В. А. ;
Теорема Котельникова В. А.

Функция же F(jω) на конечном промежутке (–ωm; ωm) может быть разложена в ряд Фурье по частотам следующим образом (путём её периодического продолжения с периодом 2ωm на весь интервал частот ω от –∞ до ∞)

Теорема Котельникова В. А. ;
Теорема Котельникова В. А.;
Теорема Котельникова В. А.

где

Теорема Котельникова В. А. ;
Теорема Котельникова В. А.
Теорема Котельникова В. А.
Рис. 9.4

Из сравнения (9.1) и (9.2) следует

Теорема Котельникова В. А. .

Таким образом коэффициенты An пропорциональны значениям функции ƒ(t) в дискретные момента времени

Теорема Котельникова В. А. .

Коэффициенты An полностью определяют F(jω), а последняя полностью определяет функцию ƒ(t). Следовательно, знание значений функции ƒ(t) в моменты времени достаточно для полного определения функции ƒ(t).

Рассмотрим теперь восстановление функции ƒ(t) по её значениям в моменты времени tn.

F(jω) – периодическая;

ƒ(t) – в пределах 1-го периода.

Теорема Котельникова В. А.

если заменить на f(nΔt), то изменится знак в ejnΔtω

Теорема Котельникова В. А.

Восстановление идет по функции.

Ряд Котельникова

1. f(nΔt) – значения f(t) в моменты времени nΔt.

2. – функция, принимающая max = 1 в точке t = nΔt, а в остальных точках kΔt, где kn равна нулю, так как t = kΔt, то

Теорема Котельникова В. А..

Рассмотрим смысл этого выражения.

Теорема Котельникова В. А.
Рис. 9.5

Свойства ряда Котельникова:

1. Каждое слагаемое превращается в нуль при всех значениях, при которых (уже показали).

2. Для восстановления истинного значения функции в любой момент времени, кроме точек отсчета, нужно вычислять бесконечную сумму ряда. http://peredacha-informacii.ru/ Это существенный недостаток теоремы Котельникова.

3. Теорема Котельникова применима лишь для сигналов с ограниченным спектром, т.е. принципиально для сигналов бесконечных во времени.

Несмотря на указанные недостатки, теорема Котельникова широко используется на практике при наличии ограничений на спектр сигнала.